Serie di Mengoli

La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n 1)}}={\frac {1}{2}} {\frac {1}{6}} {\frac {1}{12}} {\frac {1}{20}}...}$.

Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che la serie:

${\displaystyle {\frac {1}{n(n 1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n 1}}}$

Abbiamo pertanto che

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n 1}}\right)=&\left(1-{\frac {1}{2}}\right) \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right) \cdots \left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k 1}}\right)=\\&=1 \left(-{\frac {1}{2}} {\frac {1}{2}}\right) \left(-{\frac {1}{3}} {\frac {1}{3}}\right) \cdots \left(-{\frac {1}{k}} {\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k 1}}=\\&=1-{\frac {1}{k 1}}\longrightarrow 1{\mbox{, per }}k\to \infty .\end{aligned}}}$

Risulta però interessante notare come ogni elemento delle successioni parziali si elimini con il termine successivo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n 1}}\right)=\left({\frac {1}{1}}{\cancel {-{\frac {1}{2}}}}\right) \left({\cancel { {\frac {1}{2}}}}{\cancel {-{\frac {1}{3}}}}\right) \left({\cancel { {\frac {1}{3}}}}{\cancel {-{\frac {1}{4}}}}\right) \cdots \left({\cancel { {\frac {1}{k-1}}}}{\cancel {-{\frac {1}{k}}}}\right) \cdots \left({\cancel {\frac {1}{k}}}-{\frac {1}{k 1}}\right)=1-{\frac {1}{k 1}}\end{aligned}}}$

di cui il limite risulta essere:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{k 1}}\right)=1\end{aligned}}}$

Inoltre non è possibile spezzare la sommatoria nella differenza di due serie:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n 1}}}$

poiché queste sono serie armoniche, ciascuna divergente.

La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Serie armonica
• Serie telescopica
• Serie geometrica