Ottante (geometria)

Come suggerisce il nome, l'ottante è, in geometria, l'ottava parte di uno spazio euclideo. A seconda dei casi, ovvero se lo spazio in considerazione è il piano, lo spazio o un generico spazio $n$ -dimensionale, la definizione di ottante è leggermente diversa.

Geometria piana

In geometria piana l'ottante è l'ottava parte del cerchio di raggio unitario, così come il sestante ne è la sesta. L'ottante è quindi la parte di cerchio compresa tra due semirette che, con l'origine in comune, sono divise da un angolo di 45° sessagesimali, o $\pi /4$ radianti.

Dal termine ottante e sestante prendono il nome due antichi strumenti di navigazione per la nautica: l'ottante e il più recente sestante, appunto.

Geometria solida

In geometria solida l'ottante è l'ottava parte dello spazio, delimitato da tre piani incidenti a due a due ortogonali. Un ottimo esempio di ottante solido è l'angolo solido nelle pareti di una casa, visto dall'interno: se due pareti contigue sono a 90° l'una rispetto all'altra, e il soffitto (o il pavimento) è a 90° con entrambe, allora le tre pareti determinano un ottante. Dal momento che un angolo solido completo misura $4\pi$ steradianti, la sua ottava parte misura $\pi /2$ steradianti.

Geometria

In generale si definisce l'ortante, che è la generale estensione del concetto di ottante in geometria solida.

Nel generico spazio vettoriale euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ sia scelta una $n$ -upla di vettori ortonormali $(b_{1},...,b_{n})$ ; un ortante $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ è l'insieme di tutti i vettori del tipo $v=\lambda _{1}b_{1} \lambda _{2}b_{2} ... \lambda _{n}b_{n}$ dove tutti i coefficienti $\lambda _{i}\in \mathbb {R} ^{ }$ . Comunemente ci si limita a scegliere vettori ortonormali con la stessa direzione dei vettori della base standard, cioè $b_{i}=\pm e_{i}$ .

Indubbiamente è sensato estendere la definizione in questo modo, dal momento che l'ortante risulta essere una delle $2^{n}$ porzioni di $\mathbb {R} ^{n}$ separate da $n$ iperpiani a due a due ortogonali.